Cause et conséquence

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La question de l'implication logique, des relations entre causes et conséquences, est à la base de toutes nos réfléxions, que ce soit dans la science, la philosophie, ou la vie de tous les jours. Mais elle est souvent mal comprise, comme le montre le célèbre sophisme "Tout ce qui est rare est cher. Un cheval bon marché est rare. Donc un cheval bon marché est cher."

En fait même pour un scientifique il y a plusieurs contextes pour étudier ce qu'est l'implication logique...

En logique classique

En logique classique, tout est construit à partir de trois opérations logiques de base : et, ou, non.

• La propriété A∧B (lire "A et B") est vraie si A et B sont toutes deux vraies
• La propriété A∨B (lire "A ou B") est vraie si au moins l'une des deux est vraie
• La propriété ¬A (lire "non A") est vraie si A est fausse.

Alors l'implication est definie par (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B) : A est fausse ou B est vraie. L'interpretation semble claire, si on sait que (A ⇒ B) est vraie cela veut dire que :

• Si A est vraie, elle n'est pas fausse, donc B est vraie (sinon il n'y a pas "A fausse ou B vraie""). Il y a donc bien une sorte d'implication.
• Si A est fausse, on ne peut rien dire, puisque de toute façon "A fausse ou B vraie" est toujours vraie, quelquesoit B. Cela montre le fonctionnement en sens unique de l'implicacion : si on a de l'information sur A alors on a de l'information sur B, mais pas le contraire.

Finalement toutes les propriétés de l'implicacion decoulent des propriétés des objets de base que sont les opérations et, ou, non. Par exemple la transposition : nous avons vu que (A ⇒ B) est différent de (B ⇒ A), et que le second n'est pas une conséquence du premier ; mais par contre une consequence de (A ⇒ B) est que (¬B ⇒ ¬A). Un exemple avec des mots :

Si tu es provençal alors tu es beau.

Transposition : Si tu n'es pas beau, alors tu n'es pas provençal.

Démonstration matematique :

(A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B) ⇔ (¬¬B ∨ ¬A) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)

Est-ce que la cause vient toujours avant la conséquence ?

En logique classique cette question n'a pas de sens (il y a un tas de propositions, qui sont soit justes soit fausses, mais qu'il est impossible de classer sur un axe "avant/après"), ce qui est un peu un problème. D'un côté du point de vue d'informaticiens théoriciens ou de quelques mathématiciens fondamentalistes, qui veulent des démonstrations constructives (c'est-à-dire qu'il ne suffit pas de démontrer qu'un objet mathématique existe, il faut le construire à partir des objets existant précédemment : la cause est avant la conséquence dans l'ordre de la démonstration sur le papier). D'un autre côté c'est aussi un peu embarrassant pour le point de vue du physicien : la théorie de la relativité Einsteinienne prévoit que la conséquence doit être dans le cône de futur de la cause (c'est-à-dire qu'ils auraient pu être liés par un signal qui se déplace à la vitesse de la lumière ou moins). Mais en logique classique il n'y a pas de temps, que ce soit un temps physique (qu'on puisse voir suu une montre) ou un temps dans la démonstration mathématique (où par exemple je pourrais dire "je suis à la troisième ligne de la démonstration sur mon papier", c'est-à-dire avec la ligne deux dans le passé et la ligne quatre dans le futur).

La conclusion est qu'en fait il y a plusieurs définitions de ce qu'est la logique, il n'y a pas une logique unique et parfaite ! D'autres logiques ont été définies pour faire face à ces interrogations, sur le problème de temporalité comme sur d'autres choses (par exemple la "logique intuitionniste").